Читати книгу - "Пояснюючи світ"

Вільгельм Лейбніц, колишній учень Гюйґенса, на кілька років молодший за Ньютона, який незалежно від нього відкрив основи диференційного числення роком раніше. У 1676 році Ньютон розкрив деякі зі своїх результатів у листах, які мав побачити Лейбніц. А Лейбніц у статтях 1684–1685 років опублікував свою роботу з диференційного числення, навіть не згадуючи працю Ньютона. У цих публікаціях Лейбніц ввів термін «математичний аналіз» і виклав його сучасні значення, включно із знаком інтегрування ∫.

Щоб довести своє авторство математичного аналізу, Ньютон описав свої методи у двох документах, що увійшли до видання «Оптики» 1704 року. У січні 1705 року один анонімний рецензент «Оптики» натякнув, що ці методи були взяті в Лейбніца. Як припускав Ньютон, цю рецензію написав сам Лейбніц. Після цього в 1709 році журнал «Філософські праці Королівського товариства» опублікував статтю Джона Кейля, що обстоювала Ньютонову першість відкриття, а Лейбніц 1711 року відповів на це злою скаргою до Королівського товариства. У 1712 році Королівське товариство скликало анонімний комітет, щоб розглянути цю суперечку. Два століття по тому перелік членів того комітету став публічним, і виявилося, що майже всі вони були прихильниками Ньютона. У 1715 році комітет відзвітував, що авторство математичного аналізу приписують Ньютону заслужено. Чорновий варіант цього звіту подав до комітету сам Ньютон. Його висновки були підтримані анонімною рецензією на цей звіт, яку також написав Ньютон.

Сучасні науковці3 згодні в тому, що Лейбніц і Ньютон відкрили математичний аналіз незалежно один від одного. Ньютон дійшов до цього десятиліттям раніше за Лейбніца, але Лейбніц отримав усю славу саме тому, що опублікував свою роботу. Адже після перших спроб у 1671 році знайти видавця для свого трактату з математичного аналізу Ньютон не відкривав його світу, поки не був змушений зробити це через суперечку з Лейбніцом. Рішення опублікувати ті чи ті ідеї є взагалі ключовим моментом у процесі наукового відкриття4. Воно свідчить про переконання автора, що написана праця правильна й готова до того, щоб її використовували інші науковці. Тому авторство наукового відкриття сьогодні зазвичай визнають за тим, хто його опублікує. Лейбніц першим опублікував роботи з математичного аналізу, як ми побачимо нижче, однак саме Ньютон застосував його до проблем науки. Хоча, як і Декарт, Лейбніц був видатним математиком, філософська робота якого справді захоплює, але він не зробив жодного важливого внеску в розвиток природничих наук.

Найбільший історичний вплив мали саме ньютонівські теорії руху та всесвітнього тяжіння. То була давня ідея, що сила тяжіння, яка змушує об’єкти падати на Землю, зменшується з відстанню від земної поверхні. Це припускав ще в IX столітті мандрівний ірландський чернець Дунс Скот (Йоан Скот Ерігена, або Джон Скот), геть не припускаючи жодного зв’язку цієї сили з рухом планет. Припущення, що сила, яка утримує планети на їхніх орбітах, зменшується пропорційно квадрату їхньої відстані від Сонця, уперше, імовірно, зробив у 1645 році французький священик Ісмаель Буйо, який був обраний до Королівського товариства і якого пізніше цитував Ньютон. Але саме Ньютон зробив це припущення переконливим і пов’язав цю силу з тяжінням.

Приблизно 50 років по тому Ньютон описував, як він почав вивчати силу тяжіння. Навіть попри те, що його твердження потребує розлогого пояснення, я відчуваю, що маю процитувати його тут, бо воно словами Ньютона описує те, що, схоже, стало поворотним моментом в історії цивілізації. У 1666 році Ньютон пише:

Я почав думати про тяжіння, що простягається до орбіти Місяця і (знайшовши, як оцінити силу, з якою [та чи та] куля, що обертається всередині сфери, тисне на поверхню сфери), зважаючи на правило Кеплера, згідно з яким періодичні часи планет перебувають у пропорції 3:2 з їхніми відстанями від центра їхніх орбіт, я вивів, що сили, які утримують планети на їхніх орбітах, мають [бути] відповідними квадратам їхніх відстаней від центрів, навколо яких вони обертаються, і таким чином порівняв Місяць на його орбіті із силою тяжіння на поверхні Землі й виявив їхню доволі близьку відповідність. Усе це [включно з його роботою з вивчення нескінченних рядів та математичного аналізу] відбувалося у два чумні роки – у 1665 і 1666 роках. Адже в ті дні я був у розквіті мого періоду винаходів і переймався математикою й філософією більше, ніж коли-небудь пізніше5.

Як я вже казав, це потребує деякого пояснення.

По-перше, слова Ньютона в дужках «знайшовши, як оцінити силу, з якою [та чи та] куля, що обертається всередині сфери, тисне на поверхню сфери» стосуються обчислення відцентрової сили, яке вже здійснив (можливо, Ньютон цього не знав) близько 1659 року Гюйґенс. Для Гюйґенса та Ньютона (як і для нас) прискорення мало ширше визначення, ніж просто число, що показує зміну швидкості за витрачений час; це направлена величина, що показує зміну швидкості в певному напрямку за витрачений час. Під час руху по колу прискорення є навіть за постійної швидкості – це доцентрове прискорення, що складається з постійних поворотів до центра кола. Гюйґенс та Ньютон зробили висновок, що тіло, яке рухається з постійною швидкістю v по колу з радіусом r, прискорюється до центра цього кола з прискоренням v2/r, тому сила, потрібна для того, щоб тіло утримувалося в русі по колу, а не відлітало по прямій лінії в космос, пропорційна v2/r (див. технічну примітку 32). Опір цьому доцентровому прискоренню Гюйґенс назвав відцентровою силою, що впливає на тіло, коли його на кінці мотузки розкручують по колу. Для цієї ваги опір відцентровій силі забезпечує натяг мотузки. Але планети не прикріплені до Сонця мотузками. Що ж тоді опирається відцентровій силі, породженій майже круговим рухом планети навколо Сонця? Як ми побачимо нижче, відповідь на це запитання привела до відкриття Ньютоном закону обернених квадратів, або закону всесвітнього тяжіння.

Згадуючи далі «правило Кеплера, згідно з яким періодичні часи планет перебувають у пропорції 3:2 з їхніми відстанями від центра їхніх орбіт», Ньютон має на увазі те, що сьогодні ми називаємо третім законом Кеплера: що квадрат орбітальних періодів планет пропорційний кубам середніх радіусів їхніх орбіт, або, іншими словами, ці періоди відносяться до середніх радіусів орбіт планет як 3⁄2 («перебувають у пропорції 3:2»)[61]. Періодом обертання тіла, що рухається зі швидкістю v по колу з радіусом r, є окружність 2πr, поділена на швидкість v, тому для кругових орбіт третій закон Кеплера говорить нам, що відношення r2/v2 пропорційне r3, а тому їхні обернені значення пропорційні: v2/r2 пропорційне 1/r3. Отже, сила, яка утримує планети на орбітах, пропорційна v2/r, має бути пропорційною 1/r2. Це