Читати книгу - "МВА за 10 днів"

«Не маю й найменшого поняття, що це означає, але виглядає круто».

Повторення курсу алгебри

Перш ніж перейти до прикладу використання регресії, повторімо базові алгебраїчні поняття. Ви, мабуть, пам’ятаєте, що пряму описує така формула:

Y = mX + b, де

Y — залежна змінна (наприклад, обсяг продажів) m — кут нахилу прямої (відношення між змінними)

X — незалежна змінна (наприклад, дощ) b — точка перетину осі ординат (місце, де пряма перетинає вертикальну вісь)

Комп’ютерна електронна таблиця обчислить рівняння прямої (Y = mX + b), що визначає відношення між незалежними та залежними змінними. Програма визначить, чи можна використовувати пряму, яка за розрахунками «найкращим чином» відображає цей зв’язок, як точний інструмент для прогнозування.

Приклад регресії із морозивом

Власник мережі з двадцяти магазинів із морозивом Ben & Jerry’s помітив, що зростання та зниження температури повітря безпосередньо впливало на обсяг продажів. Намагаючись встановити точну математичну залежність між продажами та сезонними температурами, він зібрав дані про щомісячний обсяг продажів за останніх п’ять років, а в Національній метеослужбі отримав дані про середньомісячні температури за цей період.

Пропозиція і попит на пиво

Кількість проданих бочок

Пропозиція і попит в економіці

Обсяг виробництва (Y)

AS — сукупна пропозиція; AD — сукупний попит

Зібрані дані мали такий вигляд:

За допомогою функції електронної таблиці «Регресія» власник отримав такі результати в Excel:

Рівновага граничного доходу та витрат

Конкурентне середовище

Кількість виготовленої продукції (Q)

MC — граничні витрати; MR — граничний дохід

Що це означає?

Цей блок інформації містить рівняння для прямої, що описує залежність між температурою та продажами в Ben & Jerry’s. Спершу розберемо дані, на основі яких складають лінійне рівняння.

«Ордината в точці перетину осі Y» = b = — 79 066

«Коефіцієнт змінної X» = m = 16 431

Якщо вставити цю інформацію в стандартне лінійне рівняння, яке ми пригадали з курсу алгебри, отримаємо:

Y = 16 431 X—379 066.

Наносимо точки даних на графік та малюємо пряму регресії, описану рівнянням (див. графік на наступній сторінці).

Як показує графік, пряма регресії проходить посередині між точками даних. Якщо внести температуру, Х, у рівняння, можна вирахувати прогнозований обсяг продажів морозива. У випадку з Ben & Jerry’s, при температурі в 60° F прогнозований місячний обсяг реалізації становитиме 606 794 $.

Y = (16 431 × 60 °F) — 379 066 = 606 794 $

Та наскільки точне це рівняння при прогнозуванні продажів морозива? Відповідь на це питання нам дасть інша цифра у графі таблиці «Результат регресії».

Пояснення R-квадрата

Значення R-квадрата каже нам, «який відсоток варіації у даних пояснює дане рівняння регресії». В нашому випадку варіація обсягу продажів на 70,4 % пояснюється рівнянням регресії. Це дуже високий показник. У масштабнішому економічному аналізі дуже високим вважатиметься R-квадрат у 30 %, адже є тисячі змінних, що можуть вплинути на економічну ситуацію. У ситуації з торгівлею морозивом можна припустити, що, окрім температури, на коливання продажів впливають також реклама магазину, купони на знижку та графік роботи.

Та будьте обачні! Не варто надто пильно шукати в результатах регресійних даних якийсь глибокий зміст! Регресія свідчить лише про те, що обсяг продажів змінюється зі зміною температур. Вона не стверджує, що «саме температура відповідає за зміну обсягу продажів». Та якщо обрана незалежна змінна є обґрунтованою і може вдало спрогнозувати поведінку бажаної залежної змінної — використовуйте її.

Регресійний аналіз вказує не лише на позитивні кореляції, як‑то продажі морозива й температура, а й на негативні кореляції, як‑от відсоткова ставка й продажі нерухомості. Якщо відсоткова ставка висока, продажі нерухомості низькі. В цьому випадку коефіцієнт X — це від’ємне число. З точки зору прогнозування ці негативні залежності не менш корисні, ніж позитивні.

Пояснення середньоквадратичної похибки

«Середньоквадратична похибка оцінки Y та коефіцієнта Х» — це синоніми стандартного відхилення коефіцієнтів Y та X прямої регресії. У випадку з Ben & Jerry’s середньоквадратична похибка оцінки Y (обсягу продажів) у 68 % випадків становить плюс-мінус 243 334 $ (див. «Підсумкові результати», перша таблиця, с. 191). Аналогічно результат показує, що середньоквадратична похибка коефіцієнта × (температури) становить 3367 (див. «Підсумкові результати», друга таблиця, с. 192). Можна провести низку аналізів, встановлюючи діапазон цих даних і надійності з урахуванням середньоквадратичного відхилення, і перевірити надійність отриманого рівняння регресії.

Т-статистика як мірило надійності

Т-статистика може допомогти з визначенням, чи рівняння регресії, вирахуване електронною таблицею, підходить для використання в прогнозуванні. Т-статистика показує, чи змінна Х має значущий, з точки зору статистики, вплив на Y, як‑то вплив температури на продажі. Ви вираховуєте значення шляхом ділення коефіцієнта Х на його «середньоквадратичну похибку». Правило номер один каже, що коли значення Т-статистики вище 2 або нижче —, змінна Х має значущий, з точки зору статистики, вплив на Y. В нашому випадку, 16 431 / 3367 = 4,88, дуже високе значення Т-статистики (див. «Підсумкові результати», друга таблиця, с. 267). Тому аналітик зробив би висновок, що температура — це хороший прогностичний чинник продажів.

Для моделі прогнозування підходять тільки високі значення R-квадрата і Т-статистики. Можна також створити модель із більше ніж однією змінною Х. Це називається багатопараметричною регресією. Коли зростає кількість змінних, зростає й значення R-квадрата. Однак додавання більшої кількості змінних Х із низькою Т-статистикою призводить до створення неточної моделі. З моделлю варто поекспериментувати, додаючи й забираючи незалежні змінні для отримання високого значення R-квадратів і високого значення Т-статистики.

Еластичність попиту на фарш (гіпотетична)

Е — еластичний; Н — нееластичний

Регресійний аналіз фіктивних змінних

Одним із прийомів регресійного аналізу є метод фіктивних змінних для відображення умов, що не вимірюються числами. Їх позначають одиничками й нуликами. Наприклад, якщо серед асортименту в магазині Toys «R» Us є модна у сезоні іграшка (нечислова умова) — продажі злітають уверх. Використовуючи фіктивні змінні, у наборі даних умову наявності в асортименті можна позначити як 1, а умову відсутності в асортименті — як 0.

Як це працює, можна побачити на прикладі гіпотетичного набору даних в магазині Toys «R» Us.

Статус наявності в асортименті модної іграшки

Зрештою отримуємо такі результати регресії щодо залежності між наявністю модних іграшок і обсягом продажів.

Підсумкові результати

Це ідеальна модель, адже варіація в 100 % пояснюється середньоквадратичною похибкою і Т-статистика має дуже хороший показник. Т-статистика дуже висока. Виручка становить 100 000 $, якщо бажаних іграшок в наявності нема, і на 100 000 $ збільшується, коли вони є. Рівняння регресії, за результатами електронної таблиці, має такий вигляд:

Обсяг продажів = 100 000 $ X + 100 000 $

Якщо жадані іграшки в наявності є, X = 1, а продажі злітають до 200 000 $. Якщо ж немає, X = 0, то продажі