Читати книгу - "Пояснюючи світ"

Нехай P – це точка, де конус тіні, яку кидає Земля, закінчується (вершина конуса). Тоді ми маємо три подібні трикутники: трикутник, утворений діаметром Сонця та лініями від країв сонячного диска до P; трикутник, утворений діаметром Землі та лініями від країв земного диска до P; і трикутник, утворений подвійним діаметром Місяця та лініями від країв сфери з таким діаметром у місці положення Місяця під час місячного затемнення до P (див. рис. 5 в.) Отже, усі співвідношення відповідних сторін цих трикутників рівні. Припустімо, що точка P розташована на відстані d0 від Місяця. Тоді Сонце розташоване на відстані dс + dм + d0 від P, а Земля розташована на відстані dм + d0 від P, тому

Далі справа за алгеброю. Розв’язавши друге рівняння, можемо знайти d0:

Підставивши цей вираз замість d0 в перше рівняння й помноживши обидві його частини на DзDс (Dз − 2Dм), отримаємо:

(dс + dм) Dз (Dз − 2Dм) = dмDс (Dз − 2Dм) + 2Dмdм (Dс − Dз).

Члени dмDс × (−2Dм) та 2DмdмDс у правій частині в сумі дають 0. Доданки у правій частині мають спільний множник Dз, який скорочується з множником Dз у лівій частині, тож отримаємо таку формулу для Dз:

Dз

Якщо тепер ми використаємо результат спостереження 2, тобто рівність dс/dм = Dс/Dм, можемо виразити Dз тільки через діаметри Сонця та Місяця:

Dз

Якщо ми скористаємось отриманим раніше значенням Dс/Dм = 19,1, це дає Dз/Dм = 2,85. Арістарх наводив діапазон цього значення від 108/43 = 2,51 до 60/19 = 3,16, що навдивовижу має значення 2,85. Фактичним значенням є 3,67. Чому цей результат Арістарха був доволі близький до фактичного значення, попри його дуже погане значення для Dс/Dм? Причина полягає в тому, що на цей результат майже не впливає точність значення Dс, якщо Dс значно більше за Dм. Фактично, якщо ми взагалі знехтуємо членом Dм у знаменнику як мізерним проти Dс, тоді Dс скоротиться в чисельнику та знаменнику, і ми отримаємо просто Dз = 3Dм, що досить близько до справжнього значення.

Значно більшу історичну важливість має такий факт: зі співвідношень Dс/Dм = 19,1 та Dз/Dм = 2,85 можемо вивести, що Dс/Dз = 19,1/2,85 = 6,7. Фактичним значенням є Dс/Dз = 109,1, але важливо те, що результат Арістарха все одно показує, що Сонце набагато більше за Землю. Арістарх підкреслював цю думку, порівнюючи об’єми, а не діаметри; якщо співвідношення діаметрів Сонця й Землі становить 6,7, то співвідношення об’ємів дорівнює 6,73 = 301. Саме це порівняння, якщо вірити Архімедові, привело Арістарха до висновку, що Земля обертається навколо Сонця, а не Сонце навколо Землі.

Описані вище результати Арістарха дають значення для всіх співвідношень діаметрів Сонця, Місяця та Землі, а також співвідношення відстаней до Сонця та Місяця. Але ніщо поки не дає нам жодного співвідношення якоїсь з цих відстаней із якимось із цих діаметрів. Його забезпечило четверте спостереження.

Спостереження 4

Кутовий розмір Місяця дорівнює 2° (див. рис. 5 г).

Оскільки в повному колі 360°, а коло, радіусом якого є dм, має окружність 2πdм, то діаметр Місяця дорівнює:

Dм = (2/360) × 2πdм = 0,035dм.

За розрахунком Арістарха значення Dм/dм лежить між 2/45 = 0,044 і 1/30 = 0,033. З невідомих причин у його працях, що дійшли до нашого часу, він сильно переоцінював справжній кутовий розмір Місяця – насправді той перекриває кут лише 0,519°, а це дає Dм/dм = 0,0090. Як ми вже зазначали в розділі 8, Архімед у своєму творі «Про підрахунок піщинок» подав значення 0,5° для кутового розміру Місяця, що є доволі близьким до справжнього значення й мало б доволі точно оцінити співвідношення діаметра Місяця та відстані до нього.

Зважаючи на результати, отримані зі спостережень 2 і 3 для співвідношення Dз/Dм діаметрів Землі та Місяця, а також результату, отриманого зі спостереження 4 для співвідношення Dм/dм діаметра Місяця та відстані до нього, Арістарх зумів знайти співвідношення відстані до Місяця та діаметра Землі. Наприклад, якщо Dз/Dм = 2,85 та Dм/dм = 0,035, це дає

(Фактичне значення становить приблизно 30.) Поєднавши цей результат із результатом спостереження 1 для співвідношення dс/dм = 19,1 відстані до Сонця й Місяця, отримаємо значення dс/Dз = 19,1 × 10,0 == 191 для співвідношення відстані до Сонця й діаметра Землі (фактичне значення становить приблизно 11 600). Вимірювання діаметра Землі було вже наступним завданням.

12. Розмір Землі

Щоб обчислити розмір Землі, Ератосфен використовував спостереження, що опівдні під час літнього сонцестояння напрямок на Сонце в Александрії відхилений на 1/50 повного кола (тобто на 360°/50 = 7,2°) від вертикального напрямку, тоді як, згідно з повідомленнями, у Сієні, місті, розташованому начебто точно на південь від Александрії, опівдні під час літнього сонцестояння Сонце стоїть прямо над головою. Оскільки Сонце розташоване дуже далеко, промені світла, що падають на Землю в Александрії та Сієні, фактично паралельні. Вертикальний напрямок у будь-якому місті є лише продовженням променя від центра Землі до цього міста, тому кут між лініями від центра Землі до Сієни та до Александрії має також дорівнювати 7,2°, або 1/50 повного кола (див. рис. 6). Отже, з огляду на припущення Ератосфена, окружність Землі має бути у 50 разів більша за відстань від Александрії до Сієни.

Рис. 6. Спостереження, яке використовував Ератосфен, щоб обчислити розмір Землі. Горизонтальні лінії, позначені стрілками, показують напрямок променів сонячного світла під час літнього сонцестояння. Пунктирні лінії позначають промені, проведені від центра Землі до Александрії та Сієни й відповідають вертикальним напрямкам у цих місцях.

Сієна розташована не на екваторі Землі, як можна було б припустити із зображення на рисунку, а радше поблизу тропіка Рака – паралелі на широті 23,5° (тобто кут між напрямками від центра Землі до будь-якої точки на тропіку Рака й до якоїсь точки на південь від екватора дорівнює 23,5°). Під час літнього сонцестояння Сонце опівдні стоїть прямо над головою на тропіку Рака, а не на екваторі, бо вісь обертання