Читати книгу - "МВА за 10 днів"

Розподіл ймовірностей

У ситуаціях з кількома можливими результатами підраховують їхній розподіл. Будь-яка можливість вважається ймовірністю. Ретельний аналіз, інтуїція і здоровий глузд допомагають виявити всі можливі наслідки будь-якої ситуації. Їхня сума становить 100 %, як розвилка наслідків на дереві рішень. Графік розподілу результатів називається ймовірнісною мірою або функцією щільності розподілу. Якщо можливих результатів є багато, крива виходить пологою й називається ймовірнісною щільністю розподілу. Якщо наслідків небагато, крива нерівна і називається функцією ймовірнісної міри.

Приклад із дощем. Дощ у Сієтлі — це ситуація, якій характерний певний розподіл ймовірностей. За гіпотетичними даними, дощ у Сієтлі має такий вигляд, як у таблиці нижче та схемі розподілу ймовірностей на сторінці праворуч.

Денна кількість дощових опадів у Сієтлі в березні 2010 року

Біномінальний розподіл

Якщо кинути монетку, вона впаде з двома ймовірними наслідками — «орлом» або «решкою». Тому розподіл результатів після дворазового підкидання монети може мати кілька варіантів у ситуації, якщо хтось поставив на «решку».

2 перемоги: решка/решка.

1 перемога/1 поразка: решка/орел.

2 поразки: орел/орел.

У результаті кидання монетки виникає найбільш базовий розподіл, що зветься біномінальним. У біномінального розподілу є два результати — перемога і поразка — і кожен може трапитися з однаковою ймовірністю.

На перший погляд незрозумілі теорії біномінального розподілу можна застосовувати в такій практичній діяльності, як дослідження фондового ринку. Перемогою в аналізі фондового ринку можна вважати додатний прибуток від акцій за результатами місяця, а поразкою були б втрати або вихід на нуль. В дослідженні динаміки цін на акції компанії AT&T з 1957 по 1977 роки, було проаналізовано кожен місяць задля визначення норми додатного прибутку. З’ясувалося, що за двадцятирічний період вдалими були 56,7 % місяців.

Досліджувані місяці погрупували на періоди по три місяці (квартали). Дослідники відзначили, що, по суті, перемога траплялась із такою частотою:

Математик, що підкидав монетку, створив таблицю із цифрами для вирішення усіх проблем біномінального розподілу. У випадку з AT&T для біномінальної таблиці потрібна така інформація: r (кількість можливих перемог) = від 0 до 3

n (кількість спроб) = 3 (3 місяці в кварталі) p (ймовірність успіху) = 56,7 %

З урахуванням цієї інформації, біномінальна таблиця прогнозує такі очікувані результати:

Як не дивно, біномінальний розподіл досить точно відповідає фактичним результатам AT&T. При такій гіпотетичній ймовірності перемоги (р) ймовірність додатного місячного прибутку у конкретному кварталі можна зрозуміти із таблиці. Тому з огляду на оцінку ймовірностей біномінальний розподіл має практичну цінність для спеціалістів з інвестування, директорів відділів збуту та дослідників-аналітиків.

Дзвоноподібна крива об’єму наповнення пляшок Coca-Cola

Об’єм рідини в пляшках

Нормальний розподіл: Загадка дзвоноподібної кривої

Найчастіше використовується нормальний розподіл, відомий під назвою дзвоноподібна крива. У Гарварді дзвоноподібну криву використовують для виставлення оцінок студентам. Крива показує, що 15 % слухачів отримують дуже низькі бали. А от у Дарденській школі бізнесу викладачі ставлять незадовільні оцінки на власний розсуд. В результаті, в цих двох кампусах утворилось принципово різне конкурентне середовище.

Коли функція ймовірнісної міри будується на основі великої кількості спроб, крива збільшується та набуває форми дзвона. Ми називаємо це ймовірнісною щільністю розподілу. Саме це показували два графіки опадів у Сієтлі. Горбик посередині виникає у зв’язку з центральною граничною теоремою. Вона стверджує: «розподіл середніх значень повторюваних незалежних вибірок набуватиме форми нормального розподілу у вигляді дзвона». Чому? Просто тому що велика кількість незалежних вибірок направляється до центрального середнього значення.

Ймовірнісна щільність розподілу опадів Денна кількість опадів у Сієтлі 1970–2010 рр.(14 600 днів)

Поняття «середніх значень із вибірки» досить розмите. На практиці це пояснення вживають у ширшому значенні й воно охоплює будь-яку значну групу даних. Чому? Тому що нормальний розподіл використовувати легко, й він у будь-якому разі має тісний зв’язок із реальністю. Біржовий курс акцій — це результат багатьох ринкових коливань, кульмінацією яких стає фінансовий результат (прибутки або втрати). Фінансовий результат можна вважати «середнім арифметичним» цих ринкових коливань. Практично усе можливо раціоналізувати через середнє арифметичне — в цьому й користь нормального розподілу.

Міри кривої нормального розподілу. Дзвоноподібну криву описують за допомогою двох термінів — середнє та стандартне (середнє квадратичне) відхилення (СКВ). Середнє (µ) — це центр кривої. Зазвичай середнє називають середнім арифметичним. Його обчислюють додаванням даних та поділом цієї суми на кількість точок даних. Стандартне відхилення (σ) — це те, наскільки широко розтягнена крива. Стандартне відхилення (СКВ) також можна описати як критерій «відхилення від середнього». Ці два терміни лежать в основі більшості ймовірнісних понять.

Іншими, менш популярними величинами середнього значення для набору даних, є медіана — величина посередині списку даних, упорядкованого за зростанням, та мода — пункт, що найчастіше виникає в наборі даних.

Як і з біномінальним розподілом, сума всіх результатів, відображених на ділянці під кривою, дорівнює 100 відсоткам. Крива нормального розподілу цікава тим, що для будь-якого стандартного відхилення від середнього або від центру ймовірність події однакова незалежно від форми кривої нормального розподілу.

Приклад використання кривої нормального розподілу в торгівлі. Ел Банді, власник взуттєвого магазину, хоче впевнитись у тому, що має на складі достатньо запасів взуття всіх розмірів. Він придбав в Академії взуття дослідження жіночих розмірів і одержав масу даних, отриманих в результаті проведених опитувань.

Він вніс ці дані у графік, і вони набули вигляду кривої нормального розподілу. Він також увів дані у свій бізнес-калькулятор і натиснув кнопку «Стандартне відхилення». Відповіддю була «2». Ел також вирахував середнє арифметичне усіх розмірів опитаних й отримав відповідь «7». Він побачив, що його графік викликає довіру і має такий самий вигляд, як перевірений нами графік нормального розподілу.

Вже просто впізнавши його форму, Ел міг застосувати до нього закони кривої нормального розподілу. Для ділянки під усіма кривими нормального розподілу працюють такі закони:

1 СКВ = 0,3413

2 СКВ = 0,4772

3 СКВ = 0,49865

4 СКВ = 0,4999683

СКВ — стандартне відхилення

Відповідно до цих правил, якщо на складі пана Банді є розміри з 5-го по 9-й, то він забезпечує потребу 0,6826 (2 × 0,3413) населення. Розширивши асортимент складу з 3-го по 11-й розміри, він забезпечить потребу 0,9544 ймовірних покупців. Якщо Ел на складі матиме розміри з 1-го по 13-й, його асортиментом будуть задоволені 0,9973 клієнтів. А для тих, чиї розміри виходять за межі діапазону 1—13, він завжди зможе виконати спеціальне замовлення.

Звісно, таблиці нормального розподілу створили для того, щоби визначати ймовірність на будь-якій конкретній точці кривої (з урахуванням нецілих СКВ, віддалених від середнього). Щоби користуватися таблицями, потрібно вирахувати значення Z.

Z = ( (Точка, що нас цікавить) — Середнє ) / СКВ

Фінансовий приклад кривої нормального розподілу

Застосуємо ці нові дані з теорії ймовірності до сфери фінансів. Припустімо, щомісячні біржові прибутки від волатильних[6] акцій компанії Pioneer Аviation на графіку мають вигляд кривої нормального розподілу. Підсумок прибутків у ретроспективі свідчить про середнє (центр)