Читати книгу - "Пояснюючи світ"

він продовжуватиме летіти горизонтально з однаковою швидкістю, але водночас прискорюватиметься донизу. Отже, за час t він подолає горизонтальну відстань x = υt та вертикальну відстань z, пропорційну квадрату часу, тобто z = gt2/2, де g = 9,8 м/с2 (стала, яку вже після смерті Ґалілея виміряв Гюйґенс). Враховуючи, що t = x/υ, маємо:

z = gx2/2v2.

Це рівняння, задаючи одну координату пропорційною квадрату іншої, визначає параболу.

Зверніть увагу: якщо цей предмет вистрілили з гармати на висоті h над землею, то горизонтальна відстань x, пройдена, коли предмет пролетить відстань z = h і досягне землі, дорівнює

. Навіть не знаючи υ або g, Ґалілей міг підтвердити, що шляхом предмета є парабола, вимірюючи пройдену відстань d для різноманітних висот падіння h, а також перевіряючи, що d пропорційна квадратному кореню з h. Точно невідомо, чи зробив це колись Ґалілей, але є свідчення, що в 1608 році він провів дуже схожий експеримент, стисло згаданий у розділі 12. Кулька в ньому котилася донизу похилою площиною з різноманітних початкових висот H, потім котилася вздовж горизонтальної стільниці, на якій була встановлена ця похила площина, і нарешті вистрілювала в повітря з краю столу. Як показано в технічній примітці 25, швидкість кульки внизу похилої площини дорівнює:

де g = 9,8 м/с2, а ζ (дзета) є відношенням енергії обертання кульки до її кінетичної енергії – числом, залежним від розподілу маси всередині кульки, що котиться. Для суцільної однорідної кульки ζ = 2/5. Це є також швидкістю кульки, коли вона вистрілює горизонтально в повітря з краю стільниці, тому горизонтальна відстань, яку проходить кулька за проміжок часу, за який вона впала на висоту h, дорівнюватиме:

Ґалілей не згадував поправки на обертальний рух, вираженої ζ, але він, можливо, підозрював, що з огляду на якусь поправку пройдена горизонтальна відстань може бути менша, бо замість порівняння цієї відстані зі значенням

очікуваного, коли немає ζ, він лише перевірив, що для нерухомого столу з висотою h відстань d була фактично пропорційна з точністю до кількох відсотків. Однак Ґалілей чомусь так і не опублікував результатів цього експерименту.

Щоб розв’язати багато астрономічних і математичних задач, зручно визначати параболу як граничний випадок еліпса, один фокус якого дуже віддалений від іншого. Рівняння для еліпса з великою віссю 2a та малою віссю 2b у технічній примітці 18 подано в такому вигляді:

Для зручності подальших розрахунків ми замінили в ньому координати x та y, використовувані в технічній примітці 18, на z − z0 та x, де z0 – стала, яку можна вибрати довільно. Центр цього еліпса розташований у точці з координатами z = z0 та x = 0. Як ми вже бачили в технічній примітці 18, фокус розташований у точці з координатами z − z0 = −ae та x = 0, де e – ексцентриситет, який визначають з тотожності e2 ≡ 1 − b2/a2, а точка максимального наближення кривої до цього фокуса має координати z − z0 = −a та x = 0. Буде зручно приписати цій точці максимального наближення координати z = 0 та x = 0, вибравши z0 = а, у разі чого найближчий до неї фокус буде розташований у точці z = z0 − ea = (1 − e)a. Нам потрібно зробити а і b нескінченно великими, так щоб інший фокус віддалився до нескінченості і крива не мала максимальної координати x, але при цьому відстань (1 − e)a максимального наближення до ближчого фокуса була скінченною, тому ми задаємо:

1 − e = l/a,

де l залишається фіксованою, тоді як а прагне до нескінченості. Оскільки e наближається до одиниці при цій межі, мала піввісь b буде виражена формулою:

b2 = a2(1 − e2) = a2(1 − e)(1 + e) → 2 a2(1 − e) = 2la.

Якщо припустити, що z0 = а, і використати цю формулу для b2, отримаємо таке рівняння для еліпса:

Можемо відняти a2/a2 з лівої частини рівняння і відповідно 1 з правої. Тоді множення залишків рівняння на а дає:

Для а, значно більшої за x, y або l, перший член можна прибрати, тож це рівняння набуває вигляду:

Це те саме, що рівняння, яке ми вивели для опису руху предмета, вистріленого горизонтально, за умови, якщо ми приймаємо, що

тому фокус F параболи розташований на відстані l = υ2/2g нижче від початкового положення вистріленого предмета (див. рис. 19).

Рис. 19. Параболічна траєкторія предмета, вистріленого з підвищення в горизонтальному напрямку. Точка F – це фокус цієї параболи.

Параболи, як і еліпси, можна вважати конічними перерізами, але для парабол площина, що перерізає конус, паралельна поверхні конуса. Якщо припустити, що рівняння конуса, центральна вісь якого збігається з віссю z, має вигляд

, а рівняння площини, паралельної конусу, просто y = α(z − z0) з довільним z0, то крива перетину конуса з площиною задовольняє умови рівності:

x2 + α2(z2 – 2zz0 + z02) = α2(z2 + 2zz0 + z02).

Скоротивши члени α2z2 та α2z02, отримаємо таке рівняння:

що є тим самим, що й наш попередній результат, у випадку, коли z0 = l/α2. Зверніть увагу, що параболу певної форми можна отримати перерізом будь-якого конуса з будь-яким значенням кутового параметра α (альфа), бо форма будь-якої параболи (на відміну від її положення та орієнтації) цілковито визначається параметром l, вимірюваним в одиницях довжини; нам не потрібно знати окремо жодного безрозмірного параметра на кшталт α чи ексцентриситету якогось еліпса.

27. Виведення закону заломлення за аналогією з тенісним м’ячиком

Декарт намагався вивести закон заломлення світла, з огляду на припущення, що промінь світла