Читати книгу - "Пояснюючи світ"

то утворить з осьовою лінією лінзи інший кут – ϕ. Зрештою промінь перетинається з осьовою лінією лінзи в якійсь точці F (див. рис. 16a). Нам потрібно обчислити відстань f, на яку ця точка віддалена від задньої поверхні лінзи, і показати, що вона не залежить від θ, а тому всі горизонтальні промені світла, які падають на лінзу, перетинають осьову лінію лінзи в тій самій точці F. Отже, можемо сказати, що світло, яке проходить крізь лінзу, фокусується в точці F, а відстань f цієї точки від лінзи є фокусною відстанню лінзи.

Насамперед зверніть увагу, що довжина дуги на передньому боці лінзи від осьової лінії до точки P є часткою θ/360° всієї окружності 2πr кола радіусом r. З другого боку, та сама дуга становить ϕ/360° всієї окружності 2πf кола радіусом f. Оскільки ці дуги однакові, маємо:

а отже, скоротивши 360° та 2π, отримуємо:

Тому, щоб обчислити фокусну відстань, нам потрібно обчислити відношення ϕ до θ.

Рис. 16. Фокусна відстань: a) визначення фокусної відстані. Горизонтальна пунктирна лінія – це вісь лінзи. Горизонтальні лінії, позначені стрілками, позначають промені світла, що входять у лінзу паралельно до цієї осі. Один промінь показаний таким, що входить до лінзи в точці P, де він утворює невеликий кут θ з перпендикулярною до сферичної поверхні прямою, що проходить через центр кривини C і точку P. Цей промінь заломлюється лінзою, утворюючи кут ϕ з віссю лінзи й перетинаючи вісь у фокусній точці F на відстані f від лінзи. Це і є фокусна відстань. Кут ϕ пропорційний куту θ, тому всі горизонтальні промені фокусуються в точці F; б) обчислення фокусної відстані. Тут показана невеличка частина лінзи, де похила суцільна лінія зі штрихуванням (зліва) означає маленький сегмент опуклої поверхні лінзи. Суцільна лінія, позначена стрілкою, показує шлях променя світла, що входить до лінзи в точці P, де утворює невеличкий кут θ з перпендикуляром до випуклої поверхні в цій точці. Цей перпендикуляр зображений похилою пунктирною лінією, що є частиною прямої, яка проходить через точку P і центр кривизни лінзи С, розташований за межами цього рисунку. Усередині лінзи цей промінь заломлюється так, що утворює кут α з цим перпендикуляром, а на виході з лінзи заломлюється знову так, що утворює кут ϕ з перпендикуляром до плоскої задньої поверхні лінзи. Цей перпендикуляр зображено пунктирною лінією, паралельною до осі лінзи.

Для цього зауважмо, що відбувається з променем світла всередині лінзи (див. рис. 16б). Відрізок від центра кривини C до точки P, де горизонтальний промінь світла вдаряє в лінзу, перпендикулярний опуклій сферичній поверхні лінзи в точці P, тому кут між цим перпендикуляром та променем світла (тобто кут падіння) дорівнює θ. Як було відомо ще Клавдію Птолемею, якщо θ малий (як це буде в разі тонкої лінзи), то кут α (альфа) між променем світла всередині скла та зазначеним перпендикуляром (тобто кут заломлення) буде пропорційний куту падіння:

α = θ/n,

де n > 1 є сталою, відомою як показник заломлення, що залежить від властивостей скла та довкілля, зазвичай повітря. (Ферма показав, що n – це швидкість світла в повітрі, поділена на швидкість світла у склі, але ця інформація тут не має значення.) Тоді кут β (бета) між променем світла всередині скла та осьовою лінією лінзи дорівнює:

β = θ – α = (1 – 1/n)θ.

Це кут між променем світла та перпендикуляром до пласкої задньої поверхні лінзи, коли промінь світла досягає цієї поверхні. З другого боку, коли промінь світла виходить крізь задню поверхню лінзи, він утворює інший кут – ϕ (фі) – з перпендикуляром до цієї поверхні. Співвідношення між ϕ та β таке саме, як тоді, коли світло йшло б у протилежному напрямку: у такому разі ϕ був би кутом падіння, а β – кутом заломлення, тож β = ϕ/n, а отже:

ϕ = nβ = (n − 1)θ.

З цього видно, що ϕ прямо пропорційний θ, а отже, використовуючи нашу попередню формулу для f/r, отримуємо:

Ця рівність не залежить від θ, тому, як і обіцяно, усі горизонтальні промені світла, що входять до лінзи, збігаються в одній точці на осьовій лінії лінзи.

Якщо радіус кривини r дуже великий, то кривина передньої поверхні лінзи дуже мала, а тому лінза працює майже так само, як пласке скельце, тобто заломлення світла на вході до лінзи майже компенсоване його заломленням на виході з лінзи. Також незалежно від форми лінзи, якщо показник заломлення n близький до 1, то лінза заломлює промінь світла дуже мало. В обох цих випадках фокусна відстань дуже велика, і тоді ми називаємо лінзу слабкою. Сильна лінза – це та, що має помірний радіус кривини й показник заломлення, помітно відмінний від 1 (як, наприклад, лінза зі скла, для якої n = 1,5).

Подібний результат отримаємо й у разі, якщо задня поверхня лінзи не пласка, а є сегментом сфери радіусом r´. Тоді фокусна відстань дорівнює:

Це дає нам такий самий результат, що й раніше, якщо r´ значно більше за r, тобто задня поверхня лінзи майже плоска.

Поняття фокусної відстані можна також поширити на увігнуту лінзу на кшталт тієї, яку Ґалілей використовував як окуляр свого телескопа. Увігнута лінза може заломлювати промені світла, що збігаються в одну точку, так, щоб вони були паралельні чи навіть розбігалися в різні боки. Ми можемо визначити фокусну відстань такої лінзи, розглядаючи промені світла, що збігаються, які лінза робить паралельними; фокусною відстанню в такому разі буде відстань точки позаду лінзи, до якої такі промені збігалися б, якби лінза не робила їх паралельними. Хоча її суть інша, фокусна відстань увігнутої лінзи задають формулою, аналогічною тій, яку ми вже вивели для опуклої лінзи.

23. Телескопи

Як ми вже бачили в технічній примітці 22, тонка опукла лінза фокусуватиме промені світла, які на неї падають паралельно її центральній осі, у точці F на цій осі, на певній відстані позаду лінзи, яку називають фокусною відстанню f цієї лінзи. Паралельні промені світла, що падають на лінзу під невеликим кутом γ (гамма)