Читати книгу - "Пояснюючи світ"

вздовж однієї осі, y – відстань від центра до тієї самої точки вздовж осі, перпендикулярної першій, а а і b – додатні числа, що характеризують розмір та форму еліпса, вибрані так, що а ≥ b. Для чіткості опису зручно уявляти собі вісь x горизонтальною, а вісь y вертикальною, хоча, звісно, вони можуть пролягати в будь-яких двох взаємно перпендикулярних напрямках. З рівняння (1) випливає, що відстань будь-якої точки на еліпсі від центра при x = 0, y = 0 задовольняє умови

Рис. 12. Елементи еліпса. Позначені точки всередині еліпса – це два її фокуси; а і b – це велика та мала піввісі еліпса; а ea – відстань від кожного фокуса до центра еліпса. Сума довжин r+ та r– двох ліній від фокусів до точки P – дорівнює 2a незалежно від положення P на еліпсі. Зображений тут еліпс має еліптичність e = 0,8.

та

тому для будь-якої точки на еліпсі справедливо:

b ≤ r ≤ a (2)

Зверніть увагу, що там, де еліпс перетинає горизонтальну вісь, ми маємо y = 0, тому x2 = a2, а отже, x = ±a. Отже, рівняння (1) описує еліпс, довгий діаметр якого проходить від −a до +a в горизонтальному напрямку. Крім того, там, де еліпс перетинає вертикальну вісь, ми маємо x = 0, тому y2 = b2, а отже, y = ±b, а з цього випливає, що рівняння (1) описує еліпс, короткий діаметр якого проходить у вертикальному напрямку від −b до +b (див. рис. 12). Параметр а називають великою піввіссю еліпса. Ексцентриситет еліпса зручно визначити як

(3)

У загальному випадку ексцентриситет має значення між 0 та 1. Еліпс з e = 0 є колом з радіусом а = b. Еліпс з e = 1 такий сплющений, що є лише відрізком горизонтальної осі з y = 0.

Визначення друге

Згідно з іншим класичним визначенням, еліпс – це множина точок на площині, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок (фокусів еліпса) постійна. Для еліпса, визначеного рівнянням (1), ці дві точки мають координати x = ±ea, y = 0, де e – ексцентриситет, визначений тотожністю (3). Відстані від цих двох точок до якоїсь точки на еліпсі з координатами x та y, що задовольняють умови рівняння (1), дорівнюють:

(4)

тому їхня сума фактично стала:

(5)

Це можна вважати узагальненням класичного визначення кола, як множини точок, які всі розташовані на однаковій відстані від однієї-єдиної точки.

Оскільки обидва фокуси еліпса повністю симетричні, середні відстані r+ та r– до точок на еліпсі (з тим, що кожному лінійному сегменту заданої довжини на еліпсі задано в середньому рівну вагу) від цих двох фокусів мають бути рівні: r+ = r–, а отже, рівняння (5) дає нам

(6)

Це є також середнім значенням найбільшої та найменшої відстаней точок на еліпсі від будь-якого фокуса:

(7)

Визначення третє

Оригінальне визначення еліпса Аполлонія Перзького полягає в тому, що це – конічний переріз, утворюваний перетинанням якогось конуса площиною під нахилом до осі цього конуса. Говорячи мовою сучасної математики, конус із його вертикальною віссю є множиною точок у трьох вимірах, яка задовольняє таку умову: радіуси круглих поперечних перерізів конуса пропорційні відстані у вертикальному напрямку:

(8)

де u та y – відстані, взяті у двох взаємно перпендикулярних горизонтальних напрямках, z – відстань, взята у вертикальному напрямку, а α (альфа) є додатним числом, що визначає форму конуса (причина, з якої ми використовуємо u замість x для однієї з горизонтальних координат, стане зрозумілою трохи згодом). Вершина цього конуса, де u = y = 0, розташована в z = 0. Площину, що перерізає цей конус під певним кутом, можна визначити як множину точок, яка задовольняє таку умову:

(9)

де β (бета) та γ (гамма) – два числа, що визначають кут нахилу та висоту розташування площини відповідно (ми визначаємо координати так, щоб площина була паралельна осі y). Поєднання рівняння (9) із квадратом рівняння (8) дає нам:

u2 + y2 = α2(βu + γ)2,

або еквівалентне

Це визначення еквівалентне рівнянню (1), якщо ми визначимо, що:

(10)

Зверніть увагу, що це дає нам e = αβ, тому ексцентриситет залежить від форми конуса та нахилу площини, що перерізає цей конус, але не від висоти, на якій розташована ця площина.

19. Елонгації й орбіти внутрішніх планет

Одним із видатних досягнень Коперника стало обчислення значень відносних розмірів планетних орбіт. Зокрема, простим прикладом є обчислення радіусів орбіт внутрішніх планет за максимальною видимою відстанню цих планет від Сонця.

Рис. 13. Положення Землі та внутрішньої планети (Меркурія чи Венери) в момент, коли планета перебуває на максимальній видимій відстані від Сонця. Кола – це орбіти Землі та планети.

Розгляньмо орбіту однієї із внутрішніх планет (Меркурія чи Венери), припускаючи, що ця орбіта та орбіта Землі є колами із Сонцем у центрі. У момент, який називають максимальною елонгацією, планету видно на найбільшій кутовій відстані θmax (тетаmax) від Сонця. У цей час пряма, на якій лежить відрізок, що з’єднує Землю з цією планетою, дотична до орбіти планети, тому кут між цим відрізком та відрізком від Сонця до планети прямий. Отже, ці два відрізки та відрізок від Сонця до Землі утворюють прямокутний трикутник (див. рис. 13). Гіпотенузою цього трикутника є відрізок між Землею та Сонцем, тому співвідношення відстані між планетою та Сонцем rп і відстані Землі від Сонця rз дорівнює синусу θmax. Нижче подана таблиця кутів максимальної елонгації, їхніх синусів, а також фактичних радіусів орбіт Меркурія та Венери rп в одиницях радіуса орбіти Землі rз:

Невелика різниця між