Читати книгу - "Пояснюючи світ"

p2 = 2q2.

З цього видно, що p2 є парним числом, але добуток будь-яких двох непарних чисел непарний, тому число p має бути тільки парне. Тобто ми можемо написати p = 2p´, де p´ – ціле число. Але тоді

q2 = 2p´2,

тому, за тою самою логікою, число q також парне, а отже, його можна виразити як q = 2q´, де q´ – ціле число. Але тоді p/q = p´/q´, тому

(p´/q´)2 = 2,

де p´ та q´ – цілі числа, які відповідно вдвічі менші за p та q, усупереч визначенню p та q як найменших цілих чисел, для яких справедлива рівність (p/q)2 = 2. Отже, первинне припущення, що є цілі числа p та q, для яких (p/q)2 = 2, веде до суперечності, тож такі числа не можуть існувати.

Ця теорема веде до очевидного узагальнення: будь-яке число на кшталт 3, 5, 6 тощо, що не є саме квадратом якогось цілого числа, не може бути квадратом якогось раціонального числа. Наприклад, якщо 3 = (p/q)2, де p та q – найменші цілі числа, за яких буде збережена ця рівність, тоді p2 = 3q2, але це неможливо, якщо тільки ми не маємо p = 3p´ для якогось цілого числа p´, але тоді q2 = 3p´2, тому q = 3q´, для якогось цілого числа q, тому 3 = (p´/q´)2, усупереч твердженню, що p та q – найменші цілі числа, для яких справедлива рівність p2 = 3q2. Отже, усі квадратні корені з 3, 5, 6… є ірраціональними числами.

У сучасній математиці ми визнаємо існування таких ірраціональних чисел, як число, позначене √2, квадратом якого є 2. Якщо зобразити такі числа як десятковий дріб, то послідовність знаків після коми в ньому триватиме нескінченно й без повторень; наприклад, √2 = 1,414215562… Послідовності як раціональних, так і ірраціональних чисел однаково нескінченні, але в певному сенсі ірраціональних чисел значно більше, ніж раціональних, бо раціональні числа можна перерахувати в нескінченній послідовності, що містить будь-яке задане раціональне число:

1, 2, 1/2, 3, 1/3, 2/3, 3/2, 4, 1/4, 3/4, 4/3, …,

тоді як скласти перелік усіх ірраціональних чисел жодним чином неможливо.

6. Гранична швидкість

Щоб зрозуміти, як спостереження тіл, що падають, могли привести Арістотеля до його ідей про рух, ми можемо скористатися фізичним принципом, невідомим Арістотелю, – другим законом Ньютона. Згідно з цим законом, прискорення a якогось тіла (темп, з яким зростає його швидкість) дорівнює повній рівнодійній силі F, що діє на тіло, поділеній на масу цього тіла m:

a = F/m.

На тіло, що падає в повітрі, діють дві основні сили. Однією є сила тяжіння, пропорційна масі цього тіла:

Fтяж = mg.

Тут g – стала, незалежна від природи тіла, що падає. Вона дорівнює прискоренню тіла, що падає, зазнаючи впливу лише сили тяжіння, і має значення 9,8 м/с2 на земній поверхні та поблизу неї. Іншою силою є опір повітря. Це величина, виражена функцією f(υ), значення якої пропорційне густині повітря, що зростає зі швидкістю й залежить від форми та розміру тіла, але не залежить від його маси:

Fпов = −f(υ).

Ми ставимо знак мінус для сили опору повітря в цій формулі, бо маємо на увазі прискорення, спрямоване вертикально вниз, а для тіла, що падає, сила опору повітря діє вгору, тому з цим знаком мінус у формулі f(υ) вона додатна. Наприклад, для тіла, що падає в достатньо в’язкій рідині, її опір пропорційний швидкості тіла:

f(υ) = kυ,

де k – додатна стала, що залежить від розміру та форми тіла. Для метеора або ракети, що входить до розрідженого повітря верхніх шарів атмосфери, ми маємо натомість таке:

f(υ) = Kυ2,

де K – інша додатна стала.

Використовуючи формули для цих сил у повній силі F = Fтяж + Fпов та застосувавши цей результат у законі Ньютона, ми отримуємо:

a = g − f(υ)/m.

Коли якесь тіло тільки-но впустили, його швидкість близька до нуля, тому опору повітря немає і його прискорення донизу дорівнює просто g. З часом його швидкість зростає, і опір повітря починає знижувати його прискорення. Рано чи пізно швидкість падіння тіла наближається до значення, де член −f(υ)/m просто скорочує член g формули прискорення, і прискорення стає незначним. Це є граничною швидкістю, визначеною розв’язком рівняння:

f(υгран) = gm.

Арістотель ніколи не говорив про граничну швидкість, але швидкість, задана цією формулою, має деякі з тих самих властивостей, які він приписував швидкості тіл, що падають. Оскільки f(υ) – висхідна функція υ, гранична швидкість зростає з масою m. В особливому випадку, де f(υ) = kυ, гранична швидкість прямо пропорційна масі й обернено пропорційна опору повітря:

υгран = gm/k.

Це не загальні властивості швидкості тіл, що падають, бо важкі тіла досягають граничної швидкості, коли падають уже впродовж тривалого часу.

7. Краплі, що падають

У ході спостережень Стратон виявив, що відстань між краплями, які падають, зростає в міру їхнього падіння, і зробив із цього висновок, що ці краплі прискорюються донизу. Якщо одна крапля впала далі за іншу, тоді вона падала довше, а якщо краплі віддаляються, тоді та, що падає довше, має також падати швидше, вказуючи на те, що її падіння прискорюється. Хоч Стратон цього й не знав, прискорення постійне, і, як ми побачимо нижче, результатом цього є відстань між краплями, пропорційна витраченому часу.

Як ми згадували в технічній примітці 6, якщо опором повітря можна знехтувати, тоді спрямоване донизу прискорення будь-якого тіла, що падає, дорівнює сталій g, яка поблизу земної поверхні має значення 9,8 м/с2. Якщо якесь тіло падає зі стану спокою, тоді після часового проміжку τ (тау) швидкість його руху донизу дорівнюватиме gτ. Отже, якщо перша та друга краплі падають зі стану спокою з тієї самої ринви за час t1 та t2, то в якийсь пізніший момент часу t швидкість руху донизу цих крапель дорівнюватиме υ1 = g(t − t1) та υ2 = g(t − t2) відповідно. Різниця у швидкостях цих крапель, отже, становитиме:

υ1 − υ2 = g(t − t1) − g(t − t2) = g(t2 − t1).

Хоча значення υ1 і υ2 збільшуються з часом, різниця між ними не залежить від конкретного часу t, тому відстань s між краплями просто зростає пропорційно часу:

s = (υ1 −