Читати книгу - "Пояснюючи світ"

2E = nF.

Крім того, зауважмо, що N граней збігаються разом біля кожної з V вершин, а кожне з E ребер з’єднує дві вершини, тому

2E = NV.

Нарешті, є й менш явне співвідношення між величинами F, E та V. Щоб його вивести, ми маємо зробити додаткове припущення, що багатогранник однозв’язний у тому сенсі, що будь-який шлях між двома точками на поверхні може безперервно трансформуватися в будь-який інший шлях між цими точками. Так відбувається, наприклад, для куба або тетраедра, але не для багатогранника (правильного чи ні), побудованого розташуванням ребер та граней уздовж поверхні тора. Одна складна в доведенні теорема стверджує, що будь-який однозв’язний багатогранник може бути побудований додаванням ребер, граней та/або вершин до тетраедра, а потім, якщо це необхідно, стисканням, унаслідок якого багатогранник набуває якоїсь бажаної форми. З огляду на цей факт, ми тепер покажемо, що будь-який однозв’язний багатогранник (правильний чи ні) задовольняє рівність:

F − E + V = 2.

Легко перевірити, що цю рівність задовольняє й тетраедр, у випадку якого ми маємо F = 4, E = 6, V = 4, тож ліва частина рівняння матиме такий вигляд: 4 − 6 + 4 = 2. Тепер, якщо додати до будь-якого багатогранника ребро, що перетинає грань від одного ребра до іншого, ми додаємо одну нову грань і дві нові вершини, тому F та V збільшуються на одну одиницю та дві одиниці відповідно. Але це розбиває кожне старе ребро в кінцях нового ребра на дві частини, тому E зростає на 1 + 2 = 3, а отже, число F − E + V залишається незмінним. Так само, якщо ми додаємо ребро, що проходить від вершини до одного з наявних ребер, тоді ми збільшуємо значення F та V на одну одиницю кожне, а значення E на дві одиниці, тому число F − E + V усе ще залишається незмінним. Нарешті, якщо додати ребро, що проходить від однієї вершини до іншої, тоді ми збільшуємо обидва значення F та E на одну одиницю кожне й не змінюємо V, тому число F − E + V знову залишається незмінним. Оскільки будь-який однозв’язний багатогранник може бути побудований так, усі подібні багатогранники мають однакове значення для цього числа, тобто рівність F − E + V = 2 має бути збережена для них так само, як і для тетраедра (це простий приклад галузі математики, відомої як топологія; число F − E + V в топології називають ейлеровою характеристикою багатогранника).

Тепер ми можемо розв’язати ці три рівняння для E, F та V. Найпростіше скористатися першими двома рівняннями, щоб замінити F та V у третьому рівнянні на 2E/n та 2E/N відповідно, щоб третє рівняння мало такий вигляд: 2E/n − E + 2E/N = 2, що дає нам:

Тоді, використовуючи інші два рівняння, отримуємо:

Отже, для п’яти названих вище випадків кількості граней, вершин та ребер такі:

Це і є платонові тіла.

3. Гармонія

Піфагорійці відкрили, що дві струни музичного інструмента з однаковим натягом, товщиною та складом видаватимуть під час одночасного щипка приємний звук, якщо довжини цих струн відносяться одна до одної як малі цілі числа, наприклад, 1/2, 2/3, 1/4, 3/4 тощо. Щоб зрозуміти, чому це саме так, нам спершу потрібно зрозуміти, як взаємопов’язані частота, довжина хвилі та швидкість будь-якої хвилі.

Для будь-якої хвилі характерна певна амплітуда коливань. Амплітудою коливань звукової хвилі є зміна тиску в повітрі, що переносить цю хвилю; амплітудою океанської хвилі є товща води; амплітудою світлової хвилі з визначеним напрямком поляризації є електричне поле в такому напрямку; а амплітудою хвилі, що рухається вздовж струни музичного інструмента, є відхилення цієї струни від її нормального положення в напрямку, перпендикулярному до струни.

Найпростіший різновид хвилі має форму синусоїди. Якщо ми зробимо моментальне фото такої хвилі в будь-який момент часу, то побачимо, що амплітуда зникає в певних точках уздовж напрямку руху хвилі. Якщо ми подивимося від однієї такої точки далі вздовж напрямку руху, то побачимо, що амплітуда зростає, а потім поступово падає знову до нуля, а ще далі – падає до від’ємного значення і зростає знову до нуля, після чого повторює весь цикл знову і знову вздовж напрямку хвилі. Відстань між точками на початку та наприкінці будь-якого повного циклу називають довжиною хвилі й позначають символом λ (лямбда). Далі важливо зрозуміти, що, оскільки амплітуда хвилі має нульове значення не лише на початку та наприкінці циклу, а й посередині його, то відстань між сусідніми нульовими точками дорівнює половині довжини хвилі, тобто λ/2. Отже, будь-які дві точки, де амплітуда набуває нульового значення, мають бути розділені якоюсь цілою кількістю відрізків, що дорівнюють половині довжини хвилі.

Є фундаментальна математична теорема (чітко сформульована лише на початку XIX століття) про те, що майже будь-яке збурення (тобто будь-яке збурення, що достатньо плавно змінюється вздовж лінії поширення хвилі) можна виразити як суму синусоїдальних хвиль із різноманітними довжинами хвилі (це відомо як «аналіз Фур’є».).

Кожна окремо взята синусоїдальна хвиля демонструє характерне коливання в часі, а також у просторі вздовж напрямку руху хвилі. Якщо хвиля поширюється зі швидкістю υ, то за час t вона проходить відстань υt. Кількість довжин хвилі, що проходять повз фіксовану точку за час t, становитиме υt/λ, тому кількість циклів на секунду в заданій точці, у якій і амплітуда, і швидкість її зміни знову повертаються до початкового значення, становить υ/λ. Це відомо як частота, яку позначають символом ν (ню), тому ν = υ/λ. Швидкість поширення хвилі від вібрації струни близька до сталої й залежить від натягу та маси струни, але майже не залежить від її довжини або амплітуди, тому для цих хвиль (як і для світла) частота просто обернено пропорційна довжині хвилі.

Тепер розгляньмо струну якогось музичного інструмента з довжиною L. Амплітуда коливань має дорівнювати нулю біля кінців цієї струни, де та кріпиться. Така умова обмежує довжину окремих синусоїдальних складових коливання хвилі вібрації струни. Ми вже зазначали, що відстань між будь-якими точками хвилі, у яких амплітуда коливання набуває нульового значення, має дорівнювати цілій кількості половин довжини хвилі. Отже, хвиля на струні, зафіксованій з обох