Читати книгу - "Пояснюючи світ"

За допомогою аналітичної геометрії можна знайти координати точки в місці перетину двох кривих або рівняння кривої при перетині двох поверхонь, розв’язавши кілька рівнянь, що описують криві або поверхні. Сьогодні більшість фізиків розв’язують геометричні проблеми саме методами аналітичної геометрії, а не класичними методами Евкліда.

У галузі фізики суттєвим внеском Декарта було вивчення світла. У своїй «Оптиці» Декарт насамперед відобразив співвідношення між кутами падіння й заломлення, коли світло переходить із середовища А до середовища B (наприклад, з повітря до води): якщо кут між променем, що падає, та перпендикуляром до поверхні, що розділяє середовища, дорівнює i, а кут між відбитим променем і цим перпендикуляром дорівнює r, то синус[53] i, поділений на синус r, дорівнює незалежній від кута сталій n:

синус i / синус r = n.

У загальному сенсі там, де середовищем А є повітря (тобто, порожнеча), n є сталою, яку називають показником заломлення середовища B. Наприклад, якщо А – це повітря, а B – вода, то n – показник заломлення води, що дорівнює приблизно 1,33. У будь-якому подібному випадку, де n більше за 1, кут заломлення r менший за кут падіння i, а промінь світла, що потрапляє до щільнішого середовища, викривляється в напрямку, перпендикулярному поверхні.

Декарт не знав, що таке співвідношення ще в 1621 році емпірично отримав голландець Віллеброрд Снелліус, а ще раніше – англієць Томас Герріот. Крім того, рисунок у рукописі X століття арабського фізика Ібн Сахля наводить на думку, що це співвідношення було відомо ще йому. Але Декарт став першим, хто його опублікував. Сьогодні це співвідношення зазвичай називають законом Снелліуса, за винятком Франції, де його авторство частіше приписують Декартові.

Як Декарт вивів закон заломлення, простежити складно почасти тому, що ні у своєму описі його доведення, ні у викладенні результатів Декарт не використовував тригонометричного поняття синуса кута. Натомість він писав суто в геометричних термінах, хоча, як ми вже бачили, ще майже сімома століттями раніше синус запозичив з Індії аль-Баттані, робота якого була добре відома в середньовічній Європі. Доведення Декарта ґрунтується на його аналогії з тим, що має відбуватися, коли тенісний м’ячик прориває тонку тканину: м’ячик втратив би частину своєї швидкості, але тканина може не мати впливу на складову швидкості м’ячика, спрямовану вздовж тканини. Це припущення веде (як показано в технічній примітці 27) до поданого вище результату: співвідношення синусів кутів, які тенісний м’ячик утворює з перпендикуляром до тканини до та після удару в тканину, дорівнює незалежній від кута сталій n. Хоча в описі Декарта побачити цей результат доволі складно, він мав його розуміти, бо з відповідним значенням n він отримує більш-менш правильні числові відповіді у своїй теорії райдуги, розглянутій нижче.

Є дві речі, у яких Декарт точно помилявся у своєму доведенні. Очевидно, що світло – це не тенісний м’ячик, а поверхня, що розділяє повітря та воду або скло, не тонка тканина, тому доцільність його аналогії сумнівна, особливо для Декарта, який вважав, що світло, на відміну від тенісних м’ячиків, завжди рухається з нескінченною швидкістю5. Крім того, аналогія Декарта веде також до неправильного значення n. Для тенісних м’ячиків (як показано в технічній примітці 27) його припущення означає, що n дорівнює відношенню швидкості м’ячика vB у середовищі B після проходження крізь тканину до його швидкості vА у середовищі А до його удару в тканину. Звісно, м’ячик сповільнився б, проходячи крізь тканину, тому vB була б менша за vА, а їхнє відношення n було б менше за 1. Якщо застосувати те саме припущення до світла, то кут між відбитим променем та перпендикуляром до поверхні був би більшим за кут між променем, що падає, і цим перпендикуляром. Декарт це знав і навіть подав діаграму, що показувала відхилення шляху тенісного м’ячика від перпендикуляра. Декарт також знав, що для світла це не так, бо, як спостерігали ще із часів Птолемея, промінь світла, що потрапляє до води з повітря, відхиляється в бік перпендикуляра до поверхні води, тому синус i більший за синус r, а отже, n буде більше за 1. У надзвичайно заплутаному поясненні, яке особисто я не можу зрозуміти, Декарт якось доходить висновку, що у воді світло рухається легше, ніж у повітрі, тому для світла n буде більше від 1. Для цілей Декарта його неспроможність пояснити значення n не має великого значення, бо він міг брати (і брав) значення n з експерименту (імовірно, з даних у Птолемеєвій «Оптиці»), що, звісно, дає n більше за 1.

Переконливіше доведення закону заломлення надав математик П’єр де Ферма (1601–1665) відповідно до правила Герона Александрійського про рівність кутів падіння й відбиття світла, але тепер із припущенням, що промені світла проходять шлях за найменший час, а не долають найменшу відстань. Це припущення (як показано в технічній примітці 28) веде до правильної формули, де n – це відношення швидкості світла в середовищі А до його швидкості в середовищі B, а отже, воно буде більше за 1, якщо А – це повітря, а B – скло або вода. Декарт так і не зміг вивести таку формулу n, бо в його розумінні світло рухалося миттєво. (Як ми побачимо в розділі 14, ще одне доведення із правильним результатом надав Христіан Гюйґенс. Це доведення базується на теорії Гюйґенса про світло як рухоме збурення, яка не ґрунтується на апріорному припущенні Ферма, що промінь світла рухається шляхом, на який потрібен найменший час.)

Декарт блискуче доповнив закон заломлення: у своїй «Метеорології» він скористався відношенням між кутами падіння та заломлення, щоб пояснити райдугу. У цьому Декарт як науковець показав себе з найкращого боку. Арістотель стверджував, що кольори райдуги виникають через відбиття світла дрібними частинками вологи, що висять у повітрі6. Крім того, як ми вже бачили в розділах 9 та 10, за часів Середньовіччя аль-Фарісі та Дітріх Фрайбурзький усвідомлювали, що райдуги є наслідком заломлення променів світла у краплях дощу, що висять у повітрі. Але ніхто до Декарта не надавав детального кількісного опису того, як це працює.

Декарт першим провів експеримент, використовуючи як модель дощової краплини наповнену водою тонкостінну скляну сферу. Він помітив, що, коли промені сонячного світла входили в цю кулю з різних напрямків, світло, що виходило під кутом приблизно 42° до напрямку падіння, було «геть червоне й незрівнянно яскравіше за решту променів». Декарт дійшов висновку, що